La paradoja del voto

Ignoro la razón para ello pero casi siempre que intenta explicarse algún tipo de problema matemático de la forma más sencilla posible se recurre a las frutas. Ya saben: si yo tengo tres manzanas y me como dos manzanas, etcétera, etcétera. Siguiendo esta tradición, Scott E. Page utiliza la manzana, el plátano y el coco para ilustrar un clásico problema sobre preferencias en su curso Model Thinking.

Supongamos, dice el profesor Page, las siguientes preferencias de tres personas, donde el símbolo «mayor que» significa que se prefiere la fruta de la izquierda antes que la de la derecha:

Imagen de Wikimedia

1. Manzana > Plátano > Coco

2. Plátano > Coco > Manzana

3. Coco > Manzana > Plátano

Si ahora tratamos de calcular qué es «lo que quiere la gente» agregando sus gustos, esto es, contando las veces que se prefiere la manzana al plátano, el coco a la manzana y el coco al plátano, el resultado es el siguiente (el lector puede efectuar sus propios cálculos para corroborar que es correcto):

Coco > Manzana > Plátano > Coco

Estas preferencias colectivas resultantes son irracionales en el sentido de que no son transitivas, es decir, no son consistentes. La fruta favorita por consenso no debería depender de con qué otra fruta se compare.

Que la no transitividad de las preferencias sea irracional puede ser discutible. En cualquier caso lo importante aquí es que, al sumar las preferencias racionales (es decir, transitivas) de varias personas, entramos en un bucle en el que los deseos de la mayoría entran en conflicto (siendo las preferencias colectivas irracionales). Es lo que se conoce como paradoja del voto o paradoja de Condorcet, en honor al matemático, filósofo y científico social francés Marqués de Condorcet, quien descubrió este tipo de circularidad en 1785. Por qué es una paradoja y por qué se conoce como «del voto» es evidente si sustituimos las frutas por candidatos electorales, tal como hace John Allen Paulos en su libro El hombre anumérico:

Consideremos tres candidatos que se presentan para un cargo público, a los que llamaré Dukakis, Gore y Jackson en conmemoración de las elecciones primarias de los demócratas en 1988. Supongamos que la preferencia de un tercio de los electores ordena los candidatos así: Dukakis, Gore, Jackson; que otro tercio los ordena: Gore, Jackson, Dukakis, y que el tercio restante los prefiere en el orden Jackson, Dukakis, Gore. Hasta aquí, nada que decir.
Pero si examinamos los posibles emparejamientos de los candidatos, nos encontraremos con una paradoja. Dukakis se jactará de que dos tercios del electorado le prefieren a Gore, a lo que Jackson contestará que dos tercios del electorado le prefieren a Dukakis. Finalmente, Gore podrá decir que dos tercios del electorado le prefieren a Jackson. Si las preferencias sociales se determinan por votación, «la sociedad» prefiere Dukakis a Gore, Gore a Jackson, y Jackson a Dukakis. Así pues, aun en el caso de que las preferencias de todos los votantes sean consistentes (es decir, transitivas: cualquier elector que prefiera X a Y e Y a Z, prefiere también X a Z), no se infiere necesariamente que las preferencias sociales, determinadas por la regla de la mayoría, hayan de ser también transitivas.

Ya en el siglo XX, el economista norteamericano Kenneth Arrow demostró que, dados ciertos supuestos (entre ellos: libertad de elección individual, que unas alternativas no dependan de la existencia de otras, o que no haya un dictador que determine las preferencias colectivas), no hay escapatoria a esta paradoja. Su conclusión, que contribuyó a que ganara el premio Nobel de economía en 1972, se publicó en un ensayo titulado A difficulty in the concept of social welfare y se conoce como el teorema de imposibilidad de Arrow (ibídem Paulos):

El economista Kenneth Arrow ha demostrado una generalización muy potente según la cual todos los sistemas de votación se caracterizan por presentar alguna situación parecida a la anterior. En concreto, demostró que no hay ningún modo de derivar las preferencias colectivas a partir de las individuales que garantice plenamente las cuatro condiciones mínimas siguientes: las preferencias colectivas han de ser transitivas; las preferencias individuales y sociales se han de limitar a alternativas asequibles, si todos los individuos prefieren X a Y, entonces la colectividad también ha de preferir X a Y, y las preferencias colectivas no son determinadas automáticamente por las preferencias de un solo individuo.

La simplificación del teorema de Arrow suele entenderse en el sentido de que ningún sistema de votación es justo salvo la dictadura, lo cual no es técnicamente cierto. En cualquier caso, paradojas electorales como esta pueden suponer un problema en las elecciones democráticas ya que el resultado de las mismas no puede sino ser intransitivo. Por consiguiente, siempre habrá conflictos. No parece, pues, que exista tal cosa como el consenso social.

No obstante, no todo está perdido. El propio Marqués de Condorcet desarrolló un método para elegir a una persona entre un grupo de candidatos. En un artículo sobre los temas desarrollados aquí, Luis Tarrafeta nos explica:

Aunque el método de cálculo es un poco farragoso (aunque una broma para la potencia de cálculo de los ordenadores actuales), para el votante no lo es en absoluto. Sencillamente hay que hacer que cada votante ponga todos los candidatos según su orden de preferencia. Además, se permiten los empates.
La principal ventaja de este método es que el ganador no es el que más votos recibe, sino el que más consenso encuentra a su favor. De hecho, es perfectamente posible que gane un candidato que no sea el preferido de nadie, siempre que cuente con una aprobación suficiente.

Por otro lado, dado que el teorema de Arrow descansa en varios supuestos, si alguna de las condiciones que se plantean no se cumplen, esa conclusión de imposibilidad de elección social transitiva ya no se sostiene. Para que eso ocurra puede darse el caso, verbigracia, de que las preferencias individuales estén restringidas de alguna manera. Como explica John D. Barrow:

Se puede evitar la imposibilidad de Arrow si las preferencias de los votantes exhiben cierto grado de semejanza y existe una tendencia en la opinión pública. [Amartya] Sen llamó a un conjunto de preferencias de votantes restringida en valor, si todos los votantes están de acuerdo en que hay alguna alternativa que nunca es la mejor, intermedia o peor para todo conjunto de tres alternativas (y análogamente para cualquier número de votantes y alternativas).

Otra posibilidad expuesta por Barrow es esconder la cabeza en el agujero de la probabilidad; quizá sea muy improbable que surja la paradoja. A este respecto, se puede demostrar matemáticamente que cuando aumenta el número de votantes la probabilidad de que surjan paradojas crece solo ligeramente, mientras que si lo que crece es el número de alternativas, entonces las paradojas son casi inevitables.

La tercera vía de escape es que cada elección hecha por los votantes no sea igualmente probable, lo que suele ser el caso en la práctica (por ejemplo, hay candidatos que solo reciben el voto que se dan a sí mismos). Y existe una última posibilidad que tiene la ventaja adicional de ser a prueba de estrategias electorales: dejar el resultado en manos del azar. Eso cuadraría en parte con la visión de aquellos votantes que, como mi abuela, se declaran incapaces de determinar quién es el menos malo. Cuando no hay una opción racional meridianamente clara un poco de aleatoriedad puede ser una respuesta adaptativa a largo plazo.

Barrow concluye su capítulo sobre Condorcet y Arrow diciendo:

[L]a tendencia hacia un futuro en el que las elecciones humanas se puedan sumar casi instantáneamente para dar a los miembros de las democracias mayores opciones en el modo en que son gobernados, o en los productos que están a su disposición, hace que, en cierto modo recóndito, el futuro sea menos racional, a no ser que se coloquen restricciones particulares sobre los electores y su variedad de opciones.

Los resultados de las últimas elecciones en España ponen de manifiesto el atractivo aparente de una menor variedad de opciones. Ahora que el gobierno de varios ayuntamientos y comunidades depende de pactos y alianzas (con todos los tejemanejes que eso conlleva) hay quien –como uno de mis compañeros de trabajo– defiende las elecciones a dos vueltas de tal manera que, en la práctica, solo se pueda elegir entre dos partidos. Ahora bien, como sucede con tantas otras cosas, sobre esto es ridículo e irrazonable pronunciarse sin haber reflexionado especialmente, cosa que haremos en el próximo «episodio».