La paradoja del voto

Ignoro la razón para ello pero casi siempre que intenta explicarse algún tipo de problema matemático de la forma más sencilla posible se recurre a las frutas. Ya saben: si yo tengo tres manzanas y me como dos manzanas, etcétera, etcétera. Siguiendo esta tradición, Scott E. Page utiliza la manzana, el plátano y el coco para ilustrar un clásico problema sobre preferencias en su curso Model Thinking.

Supongamos, dice el profesor Page, las siguientes preferencias de tres personas, donde el símbolo «mayor que» significa que se prefiere la fruta de la izquierda antes que la de la derecha:

Imagen de Wikimedia

1. Manzana > Plátano > Coco

2. Plátano > Coco > Manzana

3. Coco > Manzana > Plátano

Si ahora tratamos de calcular qué es «lo que quiere la gente» agregando sus gustos, esto es, contando las veces que se prefiere la manzana al plátano, el coco a la manzana y el coco al plátano, el resultado es el siguiente (el lector puede efectuar sus propios cálculos para corroborar que es correcto):

Coco > Manzana > Plátano > Coco

Estas preferencias colectivas resultantes son irracionales en el sentido de que no son transitivas, es decir, no son consistentes. La fruta favorita por consenso no debería depender de con qué otra fruta se compare.

Que la no transitividad de las preferencias sea irracional puede ser discutible. En cualquier caso lo importante aquí es que, al sumar las preferencias racionales (es decir, transitivas) de varias personas, entramos en un bucle en el que los deseos de la mayoría entran en conflicto (siendo las preferencias colectivas irracionales). Es lo que se conoce como paradoja del voto o paradoja de Condorcet, en honor al matemático, filósofo y científico social francés Marqués de Condorcet, quien descubrió este tipo de circularidad en 1785. Por qué es una paradoja y por qué se conoce como «del voto» es evidente si sustituimos las frutas por candidatos electorales, tal como hace John Allen Paulos en su libro El hombre anumérico:

Consideremos tres candidatos que se presentan para un cargo público, a los que llamaré Dukakis, Gore y Jackson en conmemoración de las elecciones primarias de los demócratas en 1988. Supongamos que la preferencia de un tercio de los electores ordena los candidatos así: Dukakis, Gore, Jackson; que otro tercio los ordena: Gore, Jackson, Dukakis, y que el tercio restante los prefiere en el orden Jackson, Dukakis, Gore. Hasta aquí, nada que decir.
Pero si examinamos los posibles emparejamientos de los candidatos, nos encontraremos con una paradoja. Dukakis se jactará de que dos tercios del electorado le prefieren a Gore, a lo que Jackson contestará que dos tercios del electorado le prefieren a Dukakis. Finalmente, Gore podrá decir que dos tercios del electorado le prefieren a Jackson. Si las preferencias sociales se determinan por votación, «la sociedad» prefiere Dukakis a Gore, Gore a Jackson, y Jackson a Dukakis. Así pues, aun en el caso de que las preferencias de todos los votantes sean consistentes (es decir, transitivas: cualquier elector que prefiera X a Y e Y a Z, prefiere también X a Z), no se infiere necesariamente que las preferencias sociales, determinadas por la regla de la mayoría, hayan de ser también transitivas.

Ya en el siglo XX, el economista norteamericano Kenneth Arrow demostró que, dados ciertos supuestos (entre ellos: libertad de elección individual, que unas alternativas no dependan de la existencia de otras, o que no haya un dictador que determine las preferencias colectivas), no hay escapatoria a esta paradoja. Su conclusión, que contribuyó a que ganara el premio Nobel de economía en 1972, se publicó en un ensayo titulado A difficulty in the concept of social welfare y se conoce como el teorema de imposibilidad de Arrow (ibídem Paulos):

El economista Kenneth Arrow ha demostrado una generalización muy potente según la cual todos los sistemas de votación se caracterizan por presentar alguna situación parecida a la anterior. En concreto, demostró que no hay ningún modo de derivar las preferencias colectivas a partir de las individuales que garantice plenamente las cuatro condiciones mínimas siguientes: las preferencias colectivas han de ser transitivas; las preferencias individuales y sociales se han de limitar a alternativas asequibles, si todos los individuos prefieren X a Y, entonces la colectividad también ha de preferir X a Y, y las preferencias colectivas no son determinadas automáticamente por las preferencias de un solo individuo.

La simplificación del teorema de Arrow suele entenderse en el sentido de que ningún sistema de votación es justo salvo la dictadura, lo cual no es técnicamente cierto. En cualquier caso, paradojas electorales como esta pueden suponer un problema en las elecciones democráticas ya que el resultado de las mismas no puede sino ser intransitivo. Por consiguiente, siempre habrá conflictos. No parece, pues, que exista tal cosa como el consenso social.

No obstante, no todo está perdido. El propio Marqués de Condorcet desarrolló un método para elegir a una persona entre un grupo de candidatos. En un artículo sobre los temas desarrollados aquí, Luis Tarrafeta nos explica:

Aunque el método de cálculo es un poco farragoso (aunque una broma para la potencia de cálculo de los ordenadores actuales), para el votante no lo es en absoluto. Sencillamente hay que hacer que cada votante ponga todos los candidatos según su orden de preferencia. Además, se permiten los empates.
La principal ventaja de este método es que el ganador no es el que más votos recibe, sino el que más consenso encuentra a su favor. De hecho, es perfectamente posible que gane un candidato que no sea el preferido de nadie, siempre que cuente con una aprobación suficiente.

Por otro lado, dado que el teorema de Arrow descansa en varios supuestos, si alguna de las condiciones que se plantean no se cumplen, esa conclusión de imposibilidad de elección social transitiva ya no se sostiene. Para que eso ocurra puede darse el caso, verbigracia, de que las preferencias individuales estén restringidas de alguna manera. Como explica John D. Barrow:

Se puede evitar la imposibilidad de Arrow si las preferencias de los votantes exhiben cierto grado de semejanza y existe una tendencia en la opinión pública. [Amartya] Sen llamó a un conjunto de preferencias de votantes restringida en valor, si todos los votantes están de acuerdo en que hay alguna alternativa que nunca es la mejor, intermedia o peor para todo conjunto de tres alternativas (y análogamente para cualquier número de votantes y alternativas).

Otra posibilidad expuesta por Barrow es esconder la cabeza en el agujero de la probabilidad; quizá sea muy improbable que surja la paradoja. A este respecto, se puede demostrar matemáticamente que cuando aumenta el número de votantes la probabilidad de que surjan paradojas crece solo ligeramente, mientras que si lo que crece es el número de alternativas, entonces las paradojas son casi inevitables.

La tercera vía de escape es que cada elección hecha por los votantes no sea igualmente probable, lo que suele ser el caso en la práctica (por ejemplo, hay candidatos que solo reciben el voto que se dan a sí mismos). Y existe una última posibilidad que tiene la ventaja adicional de ser a prueba de estrategias electorales: dejar el resultado en manos del azar. Eso cuadraría en parte con la visión de aquellos votantes que, como mi abuela, se declaran incapaces de determinar quién es el menos malo. Cuando no hay una opción racional meridianamente clara un poco de aleatoriedad puede ser una respuesta adaptativa a largo plazo.

Barrow concluye su capítulo sobre Condorcet y Arrow diciendo:

[L]a tendencia hacia un futuro en el que las elecciones humanas se puedan sumar casi instantáneamente para dar a los miembros de las democracias mayores opciones en el modo en que son gobernados, o en los productos que están a su disposición, hace que, en cierto modo recóndito, el futuro sea menos racional, a no ser que se coloquen restricciones particulares sobre los electores y su variedad de opciones.

Los resultados de las últimas elecciones en España ponen de manifiesto el atractivo aparente de una menor variedad de opciones. Ahora que el gobierno de varios ayuntamientos y comunidades depende de pactos y alianzas (con todos los tejemanejes que eso conlleva) hay quien –como uno de mis compañeros de trabajo– defiende las elecciones a dos vueltas de tal manera que, en la práctica, solo se pueda elegir entre dos partidos. Ahora bien, como sucede con tantas otras cosas, sobre esto es ridículo e irrazonable pronunciarse sin haber reflexionado especialmente, cosa que haremos en el próximo «episodio».

Papá, ¿por qué somos del Atleti?

En el año 2000, tras el descenso del club a segunda división, el Atlético de Madrid lanzó una campaña publicitaria en la que un niño le preguntaba a su padre «Papá, ¿por qué somos del Atleti?», a lo que el progenitor no atinaba a responder, guardando silencio. «No es fácil de explicar. Pero es algo muy, muy grande» era el título del anuncio.

Foto de Kathleen Tyler Conklin

Si leen los comentarios del vídeo verán, como era de esperar, la típica discusión entre hinchas del Atleti y aficionados de otros equipos. Si leen los de cualquier vídeo de Los Simpson encontrarán el absurdo debate sobre si el doblaje de la serie es mejor en español de España o en español latino. Otro tanto ocurre con las canciones que abrían las series de la infancia de nuestra generación, cuya mejor versión siempre coincide con la que uno escuchó en su infancia (o la versión original en japonés, si procede), mientras que las demás son basura.

Estas discusiones están por todas partes. Allí donde haya más de una opción siempre hay bandos enfrentados dispuestos a informarnos de por qué el suyo es el mejor, a menudo con dos extremos reconocibles que aglutinan el grueso de opiniones. Cola-cao o Nesquik, Coca-cola o Pepsi, carne o pescado, tortilla de patatas con cebolla o sin cebolla, cerveza o vino, coches o motos, F. C. Barcelona o Real Madrid, Apple o Android, rap o ballet, Breaking Bad o The Wire. Precisamente al hilo de esta última se preguntaba Luis Tarrafeta a santo de qué discutimos con tanta pasión sobre asuntos tan triviales:

«Tengo mis comentarios respecto al “por qué”, pero el fenómeno es innegable. Nos hemos vuelto tan identitarios con nuestros gustos que hay incluso quien se ofende cuando no se comparten. O cuando se atacan, si lo preferís ver así, pero… aun con todo, ¿no es raro?
Es raro que pase cuando, como todo el mundo sabe (?), para gustos están hechos los colores.»

Nótese que la defensa partisana de las preferencias propias es de vieja data. Ya a principios del siglo XX José Ortega y Gasset incluyó esta característica en la estructura psicológica de lo que llamó el hombre-masa:

«[E]l hombre que analizamos se habitúa a no apelar de si mismo a ninguna instancia fuera de él. Está satisfecho tal y como es. Igualmente, sin necesidad de ser vano, como lo más natural del mundo, tenderá a afirmar y dar por bueno cuanto en sí halla: opiniones, apetitos, preferencias o gustos.»

Hace poco vimos que parece formar parte de la naturaleza humana esa disposición de los hombres a imponer a los demás como regla de conducta su opinión y sus gustos. También pienso, como Tarrafeta, que algo tienen que ver la afiliación y el reconocimiento, y que los gustos están relacionados con la propia identidad. Hay un concepto que los científicos sociales denominan «autoseñalización», cuya idea básica subyacente es que, pese a lo que solemos pensar, no tenemos una noción muy clara de quiénes somos. Según Dan Ariely:

«Por lo común creemos tener una visión privilegiada de nuestra personalidad y nuestras preferencias, aunque en realidad no nos conocemos muy bien (desde luego no tan bien como imaginamos). En vez de ello, nos observamos igual que observamos y juzgamos las acciones de otras personas —deduciendo de nuestras acciones quiénes somos y lo que nos gusta.
Por ejemplo, supongamos que vemos a un mendigo por la calle. En lugar de ignorarlo o darle dinero, decidimos comprarle un bocadillo. La acción en sí misma no define quiénes somos, la moralidad o el carácter, pero interpretamos el hecho como prueba de nuestra personalidad generosa y compasiva. Ahora, provistos de esta información «nueva», empezamos a creer más intensamente en nuestra benevolencia. Así funciona la autoseñalización.»

Escuchas un tipo de música, eliges una clase de ropa, ves cierto género de televisión, acudes a unos restaurantes concretos y ¡voilá! Eres rapero, indie, metalero, gótico, hipster o nada de lo anterior. De nuestras elecciones deducimos quiénes somos y lo que nos gusta. Si esa afirmación es cierta, entonces los gustos de una persona pueden decirnos cómo es de la misma manera que se lo dicen a ella misma.

En la mayoría de los casos, sencillamente elegimos A porque nos gusta más que B; nuestra aprobación o desaprobación se halla implicada en el placer que nos producen. Sin embargo, cuando alguien nos pregunta por qué preferimos A siempre podemos dar con alguna justificación aparentemente racional. De acuerdo con Kahneman el sistema encargado de dichas racionalizaciones es también el que da lugar a nuestra identidad, a quién creemos que somos:

«The attentive System 2 is who we think we are. System 2 articulates judgments and makes choices, but it often endorses or rationalizes ideas and feelings that were generated by System 1. You may not know that you are optimistic about a project because something about its leader reminds you of your beloved sister, or that you dislike a person who looks vaguely like your dentist. If asked for an explanation, however, you will search your memory for presentable reasons and will certainly find some. Moreover, you will believe the story you make up.»

Así pues, aquello que Gazzaniga llama «el intérprete» no solo tiene justificaciones para nuestros actos, sino también para nuestras preferencias.

Dar razones de nuestras preferencias a menudo es un tanto absurdo. Uno no determina sus gustos culinarios, verbigracia, tras un análisis racional de las opciones disponibles; si ese fuera el caso sería razonable pensar que nos preocuparíamos en hacer que nos guste aquello que más nos conviene, es decir, lo más sano. Pero nadie se levanta diciendo: «hoy me va a gustar el brécol», como mucho podrá cubrirlo de bechamel para hacerlo llevadero. Gustos y racionalidad se sitúan en planos separados, si bien tendemos a entremezclarlos y formar una cadena causal que no tiene sentido. Como dice Julian Biaggini:

«Preferir el vino tinto al blanco no es irracional, pero tampoco racional. La preferencia no se basa en razones, sino en gustos.»

De manera que el silencio del padre es ciertamente la respuesta más honesta a la pregunta que da título a esta entrada.