En busca del coche perfecto (VI)

Hasta ahora todos nuestros intentos por elaborar una clasificación objetiva y fiable han sido infructuosos. Hemos visto que no podemos asignar y sumar puntos porque para ello es necesario normalizar los valores, lo cual introduce subjetividad (el método de normalización elegido) y elimina la transitividad (la clasificación depende de los competidores considerados y puede cambiar si se agregan o quitan algunos de ellos). También hemos concluido que no podemos sumar los datos sin normalizar porque el rango de valores en el que se mueve cada característica (precio, potencia, etcétera) pertenecen a escalas diferentes que no están equilibradas, por lo que unas dominan sobre otras aunque la importancia no sea la misma.

La palabra clave en el párrafo anterior es «sumar». Recordemos que lo que pretendemos es agregar múltiples mediciones cualitativas (potencia, precio, consumo, equipamiento, etcétera) en una sola cifra. El hecho es que la suma no es la única forma de agregar datos; también podemos multiplicar. Exploremos esta vía.

Si repasamos algunas de las ecuaciones más conocidas de la física veremos que todas ellas utilizan el producto en lugar de la suma. Verbigracia:

Ecuación equivalencia masa-energía de Einstein

Segunda ley de Newton

Ley de gravitación universal

Como dice Chris Tofallis:

The key thing to notice regarding equations in physics is that the physical laws are generally in the form of a product of variables (i.e. multiplication), and not a sum. This immediately overcomes the issue of incommensurability —adding together quantities measured in different units —the 'adding apples with oranges' problem. It also allows for ‘more is worse’ variables to be included —one simply divides by them so that increased values lead to a reduction in the impact. This is illustrated by the universal law of gravitation [...]. The greater the distance - the weaker the force. This also shows us how weights could be incorporated — one simply raises a variable to a power.

Las ventajas de calcular la puntuación final multiplicando en lugar de sumando son varias. En primer lugar, podemos cambiar la escala de un atributo sin afectar al resultado final. Por ejemplo, en nuestro caso podemos pasar de medir la potencia de caballos de vapor a kilowatios sin que la clasificación cambie. En segundo lugar, el hecho de que unos atributos sean numéricamente mucho mayores que otros ya no importa porque, como acabamos de decir, la escala no tiene importancia. Esto hace innecesario normalizar los datos, lo cual incrementa la objetividad y hará que los resultados sean iguales independientemente de los coches considerados.

Otra ventaja es que con la multiplicación los pesos son fáciles de interpretar: un peso X significa que un aumento del 1% del atributo al que se asigna el peso aumentará la puntuación final en un X%. Por ejemplo, si asignamos a la potencia del motor un peso de valor 3 significa que, si aumentamos la potencia del motor un 1%, entonces la puntuación de ese coche sube un 3%. Cuando todos los pesos son iguales, un cambio de un 1% en cualquier atributo cambiará la puntuación final en un 1%.

Veamos cómo quedaría nuestra clasificación aplicando este método. Vamos a usar esta fórmula:

$$ puntos = {CV \cdot Equipamiento \cdot Equipamiento Seguridad \over Precio \cdot Consumo Combinado} $$

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	150	5.1	35	9	28950	0.3200
Fiat Tipo Easy	120	6	12	4	18777	0.0511
Ford Focus Trend	100	4.9	20	12	19575	0.2502
Honda Civic Prestige	182	5.8	45	15	28850	0.7341
Hyundai i30 Go	120	5.5	33	15	23025	0.469
Kia Ceed Drive 100	100	6.2	18	13	20350	0.1854
Mazda3 Evolution	120	5.1	31	10	21915	0.3328
Opel Astra GSiLine 200	200	6.2	37	15	28418.24	0.6299
Peugeot 308 GTLine	130	4.4	30	8	22050	0.3215
Renault Megane GTLine 160	160	5.5	23	8	26889.62	0.1990
Seat Leon Xcellence Edition	150	5.1	36	12	25610	0.4961
Volkswagen Golf Sport 5p 130	130	5	44	9	28945	0.3642

Con lo que el podio queda así:

1. Honda Civic Prestige
2. Opel Astra GSi Line
3. Seat Leon Xcellence Edition

Supongamos ahora que nuestro presupuesto es limitado. Para darle más importancia al precio vamos a asignarle un peso de, por ejemplo, 5 (recordemos que esto significa que un precio un 1% menor resulta en una puntuación un 5% mejor). En este caso la fórmula sería esta:

$$ puntos = {CV \cdot Equipamiento \cdot Equipamiento Seguridad \over Precio^5 \cdot Consumo Combinado} $$

Y los tres primeros clasificados serían estos:

1. Ford Focus Trend
2. Hyundai i30 Go 
3. Mazda3 Evolution

Continuará.

En busca del coche perfecto (V)

Vamos a añadir más coches a nuestra tabla de clasificación usando el método de normalización z-score del que hemos hablado. Agreguemos estos:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
Audi A3 Sportback	150	5,1	35	9	28.950
Fiat Tipo Easy	120	6,0	14	4	18.777
Hyundai i30 Go	120	5,4	33	15	23.025
Kia Ceed Drive	100	6,2	18	13	20.350
Pegueot 308 GTLine	130	4,4	27	8	20.440
Volkswagen Golf Sport 5p	130	5,0	44	9	28.945

Anexándolos a los coches que ya teníamos, normalizando los datos y haciendo la suma la clasificación quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	0.37	-0.53	0.46	-0.53	1.15	-0.32
Fiat Tipo Easy	-0.6	1.06	-1.79	-1.99	-1.44	-4
Ford Focus Trend	-1.24	-0.88	-1.01	0.34	-1.24	0.21
Honda Civic Prestige	1.41	0.71	1.43	1.21	1.121	2.22
Hyundai i30 Go	-0.6	0.18	0.26	1.21	-0.36	1.06
Kia Ceed Drive 100	-1.24	1.42	-1.20	0.63	-1.04	-2.19
Mazda3 Evolution	-0.6	-0.53	0.066	-0.24	-0.64	0.40
Opel Astra GSiLine 200	1.99	1.42	0.65	1.21	1.01	1.42
Peugeot 308 GTLine	-0.27	-1.77	-0.03	-0.83	-0.61	1.25
Renault Megane GTLine 160	0.69	0.18	-0.72	-0.83	0.62	-1.64
Seat Leon Xcellence Edition Plus	0.37	-0.53	0.55	0.34	0.3	1.5
Volkswagen Golf Sport 5p 130	-0.27	-0.71	1.33	-0.53	1.14	0.09

Ordenemos por puntuación para ver el resultado más claramente:

Coche	Puntuación final
Honda Civic Prestige	2.22
Seat Leon Xcellence Edition Plus	1.5
Opel Astra GSiLine 200	1.42
Peugeot 308 GTLine	1.25
Hyundai i30 Go	1.06
Mazda3 Evolution	0.40
Ford Focus Trend	0.21
Volkswagen Golf Sport 5p 130	0.09
Audi A3 Sportback 150	-0.32
Renault Megane GTLine 160	-1.64
Kia Ceed Drive 100	-2.19
Fiat Tipo Easy	-4

El Honda Civic recibe la mejor puntuación, seguido del Seat León y del Opel Astra. En la cola de la tabla encontramos el Renault Megane, el Kia Ceed y el Fiat Tipo.

Un momento. Aquí falla algo. ¿No habíamos quedado en que el Seat León era el mejor? Recordemos la clasificación que teníamos antes de agregar más coches:

1. Seat León Xcellence Plus
2. Honda Civic Prestige
3. Mazda 3 Evolution
4. Ford Focus Trend
5. Opel Astra GSILine
6. Renault Megane GTLine

Sin embargo, en la nueva clasificación el orden de varios vehículos ha cambiado. Antes teníamos:

Seat León Xcellence Plus > Honda Civic Prestige

Mazda3 > Opel Astra GSILine 

Ford Focus Trend > Opel Astra GSILine

Pero ahora tenemos:

Honda Civic Prestige > Seat León Xcellence Plus

Opel Astra GSILine > Mazda3 Evolution

Opel Astra GSILine > Ford Focus Trend

¿Qué ha pasado? ¿Por qué la clasificación ha cambiado al agregar más vehículos?

En resumidas cuentas, porque hemos normalizado los datos. Ya se calculen usando mínimo-máximo o z-score, los valores normalizados se computan a partir de los existentes. Por consiguiente, cuando estos datos cambian (se agregan, eliminan o modifican observaciones) también lo hacen los valores normalizados. En nuestro caso esto significa que la clasificación no es absoluta ni inmutable ya que el orden puede variar según los automóviles que incluyamos en nuestro estudio. De nuevo, no parece una solución correcta.

Si la normalización es el problema ¿por qué no prescindir de ella? Podríamos, sencillamente, sumar y restar los valores en bruto. Si hiciéramos eso obtendríamos este resultado:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	150	5.1	35	9	28950	-2851,1
Fiat Tipo Easy	120	6	12	4	18777	-18647
Ford Focus Trend	100	4.9	20	12	19575	-19447,9
Honda Civic Prestige	182	5.8	45	15	28850	-28613,8
Hyundai i30 Go	120	5.5	33	15	23025	-22862,5
Kia Ceed Drive 100	100	6.2	18	13	20350	-20225,2
Mazda3 Evolution	120	5.1	31	10	21915	-21759,1
Opel Astra GSiLine 200	200	6.2	37	15	28418.24	-28172,44
Peugeot 308 GTLine	130	4.4	30	8	22050	-21886,4
Renault Megane GTLine 160	160	5.5	23	8	26889.62	-26704,12
Seat Leon Xcellence Edition (aka Plus)	150	5.1	36	12	25610	-25417,1
Volkswagen Golf Sport 5p 130	130	5	44	9	28945	-28767

Lo que resumido queda así:

Coche	Puntuación final
Fiat Tipo Easy	-18647
Ford Focus Trend	-19447,9
Kia Ceed Drive 100	-20225,2
Peugeot 308 GTLine	-21886,4
Mazda3 Evolution	-21759,1
Hyundai i30 Go	-22862,5
Seat Leon Xcellence Edition (aka Plus)	-25417,1
Renault Megane GTLine 160	-26704,12
Opel Astra GSiLine 200	-28172,44
Honda Civic Prestige	-28613,8
Audi A3 Sportback 150	-28761,1
Volkswagen Golf Sport 5p 130	-28767

La ventaja de hacer esto que el orden los coches no cambiará aunque se agreguen o se quiten otros modelos, es decir, el Ford Focus seguirá teniendo mejor puntuación que el Hyundai i30 aunque incluyamos modelos de Mercedes-Benz.

La desventaja de este sistema, sin embargo, es demasiado grande como para ignorarla y se ve reflejada en la puntuación final. Como vemos, todos los coches obtienen una puntuación negativa. Esto sucede porque el precio es una cantidad que se resta (cuanto más cuesta un coche, peor) y su magnitud es muy superior a la de los otros atributos. Por ejemplo, la potencia se sitúa entre cien y doscientos caballos mientras que el precio lo hace entre dieciocho mil y veinte mil euros lo cual significa que, si sumamos los datos en bruto, el coche más barato será siempre el primer clasificado. Empero, pocas personas considerarían que el Fiat Tipo en su acabado más básico es el mejor compacto del mercado o que el Volkswagen Golf en su versión más alta es el peor.

Quizá podamos arreglar el desaguisado asignando pesos a cada característica. Si, verbigracia, multiplicamos los valores de potencia por 144 los resultados oscilarían entre 14.380 y 28.761, de forma que la potencia importaría más o menos lo mismo que el precio. Esto nos permite, además, personalizar el cálculo a nuestra preferencia. Quizá seamos de esas personas que, en lo relativo a seguridad del vehículo, no miran el duro. Quizá queramos un coche potente para divertirnos. O quiźa busquemos gastar lo mínimo posible. Los pesos nos permiten adaptar el resultado a nuestras necesidades, si bien introducen un grado de subjetividad con el que hay que ser cuidadosos, so pena de ser víctimas del sesgo de confirmación, esto es, de que la clasificación refleje nuestras creencias previas.

Veamos un ejemplo utilizando pesos. Supónganse los siguientes pesos:

Puntuación = 3 * CV + 4 * Equipamiento

La ecuación anterior refleja que nos importa más el equipamiento que la potencia. La interpretación matemática sería que 4 caballos equivalen a 3 elementos de equipamiento. Así pues, siendo todo lo demás igual, si un coche tiene 104 caballos y 10 elementos de equipamiento tendrá los mismos puntos que uno con 100 caballos y 13 elementos de equipamiento.

Cuando solo tenemos dos atributos es sencillo ver qué significa cada peso. Sin embargo, cuando tenemos decenas o cientos de ellos la interpretación se torna dificíl o imposible.

Continuará.

En busca del coche perfecto (IV)

Terminado el análisis de datos exploratorio podemos empezar a calcular qué coche es el mejor. Empezaremos con soluciones intuitivas e iremos refinando nuestro sistema hasta llegar a un sistema con cierta solvencia matemática. Para nuestras explicaciones utilizaremos un puñado de coches y solo consideraremos unas pocas características, ya que eso hará más fácil seguir el razonamiento.

Recordemos nuestra pregunta original. Dado un conjunto de coches ¿cuál es el mejor? En la primera parte de esta serie de artículos dijimos que «el mejor» es aquel que satisface todas nuestras necesidades y preferencias. En este caso buscamos un coche potente con un consumo bajo, bien equipado, seguro y barato. Con esta definición en mente veamos cual sería la mejor opción entre estos vehículos:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
Ford Focus Trend	100	4,9	20	12	19.575
Mazda 3 Evolution	120	5,1	31	10	21.915
Seat León Xcellence Plus	150	5,1	36	12	25.610
Renault Megane GT Line	160	5,5	23	8	26.890
Honda Civic Prestige	182	5,8	45	15	28.850
Opel Astra GSiLine	200	6,2	37	15	28.418

El Ford Focus es el más barato pero también es el menos potente y menos equipado. El Opel Astra es el más potente pero es el segundo más caro y no es el más equipado, además de ser el que más combustible gasta. El Honda Civic es bastante potente y el que mejor equipado está pero es el más caro. El Mazda 3 y el Seat León se mueven en zonas intermedias. Vamos a tratar de elaborar un ranking para dilucidar cuál cubre mejor nuestras demandas.

La primera idea que se me ocurre para crear la tabla de clasificación es asignar puntos. Podemos empezar, por ejemplo, por asignar un punto al coche que sea mejor en potencia, otro punto al que tenga mejor equipamiento, otro al que tenga mejor consumo y otro al que tenga el mejor precio. Después los sumamos todos y el que más puntos tenga sería el mejor. En nuestro caso quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Ford Focus Trend	0	1	0	0	1	2
Mazda 3 Evolution	0	0	0	0	0	0
Seat León Xcellence Plus	0	0	0	0	0	0
Renault Megane GT Line	0	0	0	0	0	0
Honda Civic Prestige	0	0	1	1	0	2
Opel Astra GSiLine	1	0	0	1	0	2

Tenemos un triple empate, lo cual no nos ayuda demasiado. Si tuviéramos en cuenta más características quizá lograríamos deshacer el empate pero seguiríamos tendiendo un problema: este sistema favorece los extremos, ya que solo se obtiene un punto cuando se está por encima o por debajo de todos los demás. Dado que lo que buscamos es un equilibrio entre distintos factores no parece que este método sea el adecuado porque nuestra respuesta, probablemente, ande por la zona media. Supongamos, verbigracia, que tenemos estos tres coches:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Coche A	150	7,0	20	10	22.000	3
Coche B	140	6,0	19	9	21.000	0
Coche C	100	5,5	10	5	20.000	2

Según esto deberíamos descartar el coche B pero, si observamos detenidamente, veremos que el coche B parece la opción más acertada: no es el mejor en nada pero está muy cerca de los que sí lo son.

La forma en que suele resolverse el problema anterior es repartiendo puntos. Por ejemplo, en los mundiales de motociclismo y automovilismo se otorga un número de puntos al ganador de cada carrera, unos pocos menos al segundo clasificado, menos aún al tercero, etcétera. De esta forma se evita que un piloto que ha ganado cuatro carreras y no ha corrido las quince restantes se proclame campeón frente a alguien que ha quedado segundo en todas las carreras.

Probemos esta solución. Vamos a usar una escala del cero al diez para cada atributo, siendo diez el valor perteneciente al mejor dato en la escala de ese atributo y cero el valor correspondiente al peor dato en la escala. Obsérvese que el diez no siempre corresponde al valor más alto pues hay atributos (precio, consumo) que nos interesa que sean lo más pequeñas posibles. En nuestro caso tendríamos:

Puntos	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
0	100	6,2	20	8	28.850
10	200	4,9	45	15	19.575

Por lo que nuestra clasificación quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Total
Ford Focus Trend	0	10	0	6	10	26
Mazda 3 Evolution	2	8	4	3	7	25
Seat León Xcellence Plus	5	8	6	6	3	29
Renault Megane GT Line	6	5	1	0	2	14
Honda Civic Prestige	8	3	10	10	0	31
Opel Astra GSiLine	10	0	7	10	0	27

Con este nuevo sistema el campeón es el Honda Civic Prestige, seguido del Seat León Xcellence y el Opel Astra GSiLine. El peor sería el Renault Megane GT Line.

Parece un buen sistema pero, como decía el señor Lobo en Pulp Fiction, no empecemos todavía con las felaciones mutuas. Examinemos detenidamente la columna de los caballos de potencia. ¿No ven algo raro?

Coche	CV	Puntos correspondientes
Ford Focus Trend	100	0
Mazda 3 Evolution	120	2
Seat León Xcellence Plus	150	5
Renault Megane GT Line	160	6
Honda Civic Prestige	182	8
Opel Astra GSiLine	200	10

El Opel Astra tiene el doble de puntos que el Seat León en lo que a potencia se refiere pero, en realidad, solo tiene un treinta y tres por ciento más de caballos que este último. Similarmente, el Renault Megane tiene tres veces más puntos de potencia que el Mazda 3 aun cuando el primero solo tiene un treinta y tres por ciento más de caballos que el segundo. No parece que eso sea correcto.

La aberración detectada se debe a la normalización mínimo-máximo que empleamos para escalar los valores a un valor entre cero y diez. Esta normalización tiene un problema adicional, a saber, que comprime la distancia entre los valores de manera que los valores atípicos son atenuados. En la práctica esto significa que si un coche es muchísimo más barato o muchísimo más eficiente que los demás su puntuación no reflejaría este hecho en toda su magnitud.

Vamos a intentar solventar los inconvenientes mencionados utilizando otro método de normalización, el llamado z-score. Este método transforma los datos a una distribución con media 0 y desviación estándar 1. Si un coche es mejor que la media en equipamiento tendrá un valor superior a 0. Si, por el contrario, tiene peor equipamiento que la media, su puntuación será un número negativo. La ventaja de este procedimiento es que se preservan tanto el rango como la dispersión de la serie por lo que los datos atípicos se verán reflejados de forma fiel.

Para que los datos de media y desviación estándar sean mínimamente fiables se necesitan al menos treinta observaciones por lo que si queremos usar z-score tendríamos que trabajar con, al menos, treinta vehículos. Sin embargo, vamos a simplificar y continuar con nuestros seis compactos. Recordemos, además, que para el consumo y el precio tenemos que cambiar el signo porque cuanto menores son estos valores más puntos se ganan.

Así pues, la clasificación usando z-score como método de normalización queda así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Ford Focus Trend	-1,28	-1,04	-1,16	0,02	-1,45	0,07
Mazda 3 Evolution	-0,75	-0,63	0,02	-0,15	-0,82	0,58
Seat León Xcellence Plus	0,06	-0,63	0,56	0,02	0,17	1,10
Renault Megane GT Line	0,32	0,17	-0,84	-0,32	0,52	-1,52
Honda Civic Prestige	0,91	0,78	1,52	0,28	1,04	0,89
Opel Astra GSiLine	1,39	1,58	0,66	0,28	0,93	-0,17

De acuerdo con esta clasificación el título de «mejor coche» va a parar al Seat León, seguido del Honda Civic y del Mazda 3. El peor clasificado vuelve a ser el Renault Megane.

Continuará.

En busca del coche perfecto (III)

La siguiente parada en nuestro viaje es el análisis bivariable, es decir, comparar los valores de unas características con otras. Mediante el examen simultáneo de dos atributos podremos comprobar si existe una asociación entre ellos y la fuerza de dicha asociación. También podremos comprobar qué diferencias hay entre las dos variables, así como su importancia. En este paso ya es posible empezar a poner a pruebas nuestros prejuicios y conjeturas.

Por ejemplo, ¿los coches más potentes son más caros? El saber común dicta que sí pero comprobemos si es cierto:

Vemos un correlación positiva moderada tirando a fuerte entre ambas variables, de manera que algo de verdad hay en nuestra hipótesis. Sin embargo, muchos puntos caen fuera de las bandas de confianza (de color gris) lo que significa que hay más factores que influyen en el precio.

Parece de suyo evidente que uno de tales factores sea el equipamiento. ¿Hasta qué punto es así?

Encontramos otra vez una correlación positiva moderada lo que significa, de nuevo, que nuestra hipótesis es verdadera en cierto grado. Sin embargo, la correlación entre equipamiento y precio es menor que la que hemos visto antes entre precio y potencia de lo que se deduce que, en lo que a coste se refiere, importa más la potencia del motor que el equipamiento.

En los gráficos anteriores se puede observar que para la misma potencia o cantidad de equipamiento hay precios diferentes. ¿A qué puede deberse esto? La primera respuesta que nos viene a la mente seguramente sea la marca ya que hay fabricantes cuyos automóviles, a igualdad en el resto de atributos, son más caros que el resto. ¿Cuáles son las marcas más caras y las más baratas? (clic para ampliar)

Skoda es, con diferencia, la marca más asequible mientras que Mercedes es la maś costosa, seguida de cerca por Infiniti. Cuando modelemos el precio utilizando regresión lineal veremos cuántos euros extra hay que abonar por cada una de estas marcas de lujo.

Más sabiduría convencional que podemos poner a prueba. ¿Los coches más potentes consumen más gasolina?

La respuesta es sí pero la correlación es débil. ¿Será que en el gasto de combustible influye más el peso que la potencia del motor?

Efectivamente, en lo que a consumo se refiere, el peso del vehículo importa más que la sus caballos.

Otra pregunta. ¿Es el precio del seguro más caro cuanto más caro es el coche?

Parece que sí pero no es una correlación fuerte. En realidad, como podemos ver a continuación, en el coste del seguro influye mucho más la potencia.

De todas las correlaciones existentes entre las variables las más fuertes son la que hay entre consumo combinado y emisiones de dióxido de carbono (0,92) y la existente entre potencia y velocidad máxima (0,85). No hay relación entre equipamiento y consumo extraurbano, ni entre el peso y la anchura del vehículo. La correlación negativa más grande es entre velocidad máxima y tiempo de aceleración de cero a cien kilómetros por hora y entre velocidad máxima y potencia. Es decir que, tal como era de esperar, los motores más potentes tardan menos en alcanzar los cien kilómetros hora.

Continuará.