¿Ketchup o Catsup? (y II)

Hablemos ahora de otro método con nombre rimbombante, el analytic hierarchy process o AHP. A diferencia de las que hemos visto hasta ahora esta técnica no se basa solo en matemáticas sino que también se apoya en la psicología. Fue desarrollado por Thomas L. Saaty en la década de los ochenta y revisado en las décadas siguientes. La versión que vamos a examinar es la original.

AHP funciona descomponiendo un problema complejo en un sistema de jerarquías que representan los aspectos más relevantes del mismo, tales como criterios a satisfacer, subcriterios que forman esos criterios, alternativas disponibles y atributos de estas. El objetivo se sitúa en el cénit de la jerarquía y el resto de aspectos en niveles por debajo del mismo. La imagen siguiente muestra un ejemplo de jerarquía para un problema que consiste en elegir al mejor dirigente de los tres candidatos posibles:

Imagen de Wikimedia Commons

Los números que aparecen en la imagen tienen dos significados. El objetivo (goal) siempre tiene valor 1. En el caso de los criterios los números indican la importancia relativa y tienen que sumar 1 (el valor del objetivo). Finalmente, en el nivel de las alternativas los números indican hasta qué punto una alternativa dada satisface los criterios de la jerarquía superior. Así pues, en este ejemplo concreto lo que más importa es que el candidato tenga experiencia y formación, y Dick es la mejor opción.

Para obtener las cifras que representan la importancia de cada criterio se evalúan estos entre sí tomados de dos en dos. Quien ha de tomar la decisión final utiliza su propio juicio para determinar, dado un par concreto, qué es más importante. Para convertir valoraciones lingüísticas en números Saaty propuso la siguiente escala:

Imagen de Wikimedia Commons

La razón de ser de esta escala es la ley del umbral de diferencia enunciada por el psicólogo experimental del siglo XIX Ernst Weber:

In 1846 Weber [...] stated his law regarding a stimulus of measurable magnitude. According to his psychological theory a change in sensation is noticed if the stimulus is increased by a constant percentage of the stimulus itself. That is, people are unable to make choices from an infinite set. For example, people cannot distinguish between two very close values of importance, say 3.00 and 3.02. Psychological experiments have also shown the intriguing fact that most individual cannot simultaneously compare more than seven objects (plus or minus two)[Miller, 1956]. This is the main reasoning used by Saaty to establish 9 as the upper limit of his scale, 1 as the lower limit and a unit difference between successive scale values.

Esta es, por lo tanto, la parte del método que se apoya en la psicología. Por un lado, la escala trata de reflejar cómo percibimos los estímulos y tiene en cuenta nuestras limitaciones al hacer comparaciones. Por otro, se abre la puerta para introducir nuestras preferencias y juicios en el proceso de decisión, lo que hace posible considerar factores subjetivos como el diseño, el sabor, características de personalidad, etcétera.

Ahora que ya conocemos por encima el AHP vamos a aplicarlo a nuestro dilema del ketchup. Recordemos nuestras alernativas:

• Ketchup
• Ketchup sin azúcar
• Catsup
• Catsup light

Estos serán los criterios que consideraremos para tomar nuestra decisión:

• Precio
• Sabor
• Información nutricional

El primer paso es determinar la importancia que tiene para nosotros cada uno de los atributos anteriores. Para ello, como hemos dicho, debemos compararlos dos a dos y codificarlo según la escala de Saaty. Supongamos lo siguiente:

• El sabor nos importa más que el precio, ya que el ketchup no es un producto demasiado caro, pero tampoco queremos gastar de más. Digamos que la importancia del sabor sobre el precio es de 7 (muy importante).
• El sabor nos importa algo más que la información nutricional. Ponemos, por ejemplo, un dos.
• La información nutricional (la cantidad de azúcar y sal) nos importa más que el precio y estamos dispuestos a pagar más por ello. Pongamos un 9.

	Precio	Sabor	Inf. nutricional
Precio	1	?	?
Sabor	7	1	2
Información nutricional	9	?	1

Las casillas marcadas con signo de interrogación son los valores recíprocos de las comparaciones ya hechas con lo que tabla completa queda así:

	Precio	Sabor	Inf. nutricional
Precio	1	0,143 (1/7)	0,111 (1/9)
Sabor	7	1	2
Inf. nutricional	9	0,5 (1/2)	1

Aplicando unos cálculos que vamos a obviar por razones de espacio (vectores eigen, para los interesados) obtenemos la siguiente jerarquía de prioridades:

El siguiente paso es, para cada criterio, comparar las alternativas de dos en dos según dicho criterio. Verbigracia:

Comparación de sabor

Ketchup	Ketchup sin azúcar	3	El ketchup normal es moderadamente más sabroso que la alternativa sin azúcar
Ketchup	Catsup	1	Ketchup y catsup nos saben igual
Ketchup	Catsup light	5	El ketchup nos sabe bastante mejor
Catsup	Catsup light	2	El catsup normal nos sabe algo mejor
Catsup	Ketchup sin azúcar	3	El catsup normal nos sabe moderadamente mejor
Catsup light	Ketchup sin azúcar	2	El catsup light nos sabe algo mejor

Con las premisas anteriores nos quedaría la siguiente matriz de valoraciones:

	Ketchup	Catsup	Ketchup sin azúcar	Catsup light
Ketchup	1	1	3	5
Catsup	1	1	3	2
Ketchup sin azúcar	0,33 (1/3)	0,33(1/3)	1	0,5 (1/2)
Catsup light	0,2 (1/5)	0,5 (1/2)	2	1

Con estos valores hacemos los mismos cálculos que antes con los criterios y nos queda la siguiente jerarquía:

Podemos ver que, en lo atinente al sabor, el ketchup normal es la mejor elección.

Nos queda repetir el mismo procedimiento para los otros dos criterios. Las comparaciones serán más fáciles de hacer ya que se trata de cantidades numéricas (para la información nutricional podemos, verbigracia, usar la calificación obtenedia mediante TOPSIS en el artículo anterior). Digamos que nuestra jerarquía final queda así:

Ahora que conocemos las prioridades de los criterios con respecto al objetivo, así como las prioridades de las alternativas con respecto a los criterios, podemos calcular las prioridades de las alternativas con respecto al objetivo. Para ello basta con multiplicar y sumar a lo largo de la jerarquía.

Criterio	Prioridad	Alternativa	Resultado
Sabor	0,554	Ketchup Ketchup sin azúcar Catsup Catsup Light	0,417 x 0,554 = 0,231 0,105 x 0,554 = 0,058 0,329 x 0,554 = 0,182 0,149 x 0,554 = 0,083
Precio	0,06	Ketchup Ketchup sin azúcar Catsup Catsup Light	0,383 x 0,06= 0,023 0,128 x 0,06= 0,008 0,347 x 0,06= 0,021 0,142 x 0,06= 0,009
Inf. nutricional	0,385	Ketchup Ketchup sin azúcar Catsup Catsup Light	0,072 x 0,385= 0,028 0,413 x 0,385= 0,159 0,102 x 0,385= 0,039 0,413 x 0,385= 0,159

Alternativa	Prioridad respecto al sabor	Prioridad respecto al precio	Prioridad respecto a la inf. nutricional	Respecto al objetivo
Ketchup	0,231	0,023	0,028	0,282
Ketchup sin azúcar	0,058	0,008	0,159	0,225
Catsup	0,182	0,021	0,039	0,242
Catsup light	0,083	0,009	0,159	0,251

Por lo que concluimos que la mejor alternativa según nuestras preferencias es el ketchup normal, seguido del catsup light.

No les recomiendo calcular el árbol de jerarquías a mano; es un proceso largo y tedioso. Para ello es mejor usar una de las muchas aplicaciones informáticas existentes que permiten introducir los criterios, registrar las alternativas y asistirnos en las comparaciones de forma ágil.

AHP no es tan intuitivo como el mero hecho de sumar o multiplicar valores de atributos pero nos permite considerar características subjetivas. Además, las decisiones se pueden tomar en conjunto. Por ejemplo, un grupo de personas encargado de tomar la decisión va acordando la importancia relativa de cada propiedad cuando se hacen las comparaciones dos a dos.

Respecto a los inconvenientes de AHP, puede darse el caso de que al añadir nuevas alternativas cambie el orden de clasificación de las mismas (problema conocido como rank reversal que afecta también a TOPSIS y el método basado en la suma que vimos en su día). Otro aspecto que cabe criticar son las escalas utilizadas para traducir un juicio del tipo «A es mucho mejor que B» en un número. La escala propuesta por Saaty que hemos visto es lineal mientras que otros autores abogan por escalas exponenciales.

AHP es uno de los métodos de decisión más usados y estudiados. Si quieren aprender más la página inglesa de Wikipedia desarrolla un par de ejemplos paso a paso. El primero, la elección de un directivo, es básico como el que hemos visto aquí. El otro, la elección de un coche para la familia, es más elaborado pues introduce conceptos que hemos obviado como las jerarquías múltiples.

¿Ketchup o Catsup? (I)

Cuando el señor Burns se ve obligado a valerse por sí mismo no le queda otra opción que ir al supermercado a hacer la compra. Allí, cual asno de Buridan, se queda petrificado en un pasillo incapaz de decidirse por una de las dos opciones que sostiene en sus manos, un bote de ketchup y un bote de catsup.

The Simpsons 4F17

Supongamos que la información nutricional de los productos entre los que duda el señor Burns es la siguiente (por cada cien gramos):

	Carbohidratos	Sal
Ketchup	33,3 gramos	907 mg
Catsup	27 gramos	1067 mg

El señor Burns es una persona de edad provecta así que debería vigilar su consumo de sal, por lo que vamos a considerar que lo más adecuado para él es la salsa con menos cantidad de sodio. En este caso la elección es obvia: ketchup.

No me consta que Burns tenga problemas de diabetes pero, en cualquier caso, consumir la menor cantidad de azúcar es un consejo de salud habitual. La mejor opción en este caso también es evidente: catsup.

Ahora bien, ¿cuál es la mejor opción teniendo en cuenta los dos criterios anteriores? Si son lectores habituales del blog recordarán que hemos estudiado con cierto detalle una posible solución a este tipo de problemas. Me gustaría presentarles un par de métodos alternativos. Antes de describirlos ampliemos nuestro abanico de opciones de ejemplo:

	Carbohidratos	Sal
Ketchup	33,3 gramos	907 mg
Ketchup sin azúcar	3,4 gramos	2000 mg
Catsup	27 gramos	1067 mg
Catsup Light	16,6 gramos	1800 mg

TOPSIS son las siglas de Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution. Suena sofisticado ¡así que debe de ser bueno! Fue desarrollado por Yoon y Hwang en 1980 bajo una premisa sencilla: la mejor opción es aquella que está más cerca de la solución ideal y, a la vez, más alejada de la peor alternativa posible.

¿Qué entendemos por «cerca» y «lejos» en este contexto? Lo mismo que en nuestra vida diaria: «cerca» es la distancia en línea recta o la trayectoria más corta posible entre dos puntos (es lo que se conoce como distancia euclidiana, por el célebre matemático Euclídes). Es un concepto muy fácil de entender con una imagen:

En una línea recta que va desde 0 a 2.500 hemos situado nuestras opciones según su cantidad de sal. La peor elección sería el ketchup sin azúcar; la mejor, el ketchup normal. Es de suyo evidente que dicho producto es el que más cerca está de la mejor opción y más lejos se sitúa de la peor.

Antes de continuar reflexionemos brevemente sobre el significado de la imagen anterior. Hemos dibujado una línea recta que empieza en 0. Sobre ella hemos situado nuestras opciones según el valor de uno de sus atributos (la sal). Con ello hemos creado un mundo unidimensional en el que la distancia viene marcada por la separación entre los puntos y es fácil de calcular con una simple resta.

Añadamos ahora nuestro segundo criterio, a saber, los carbohidratos. Tendremos, pues, dos atributos o características a considerar. Dicho de otra forma, ahora tenemos un mundo bidimensional. ¿Qué mejor forma de representarlo que con el plano cartesiano?

En nuestro plano la opción ideal, si existiera, se situaría en las coordenadas correspondientes a la menor cantidad de sal (900) y la menor cantidad de carbohidratos (16,6). Añadámosla al plano:

Ahora que tenemos dos dimensiones ¿cómo podemos calcular la distancia de una salsa en concreto a la solución ideal? La respuesta es fácil de ver con una imagen:

En efecto, la distancia hacia la mejor opción es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Calculando las hipotenusas del rectángulo correspondiente a cada alternativa podríamos clasificarlos según su distancia hacia la solución ideal y, a partir de ahí, ver qué elección es la mejor.

¿Qué ocurre si tenemos que tomar decisiones entre alternativas que tienen más de dos atributos a considerar? No hay ningún problema porque la distancia euclidiana se puede calcular para cualquier número de dimensiones.

Imagen de Wikimedia Commons

Ahora bien, antes de medir las distancias hay que normalizar los datos. En el problema que nos ocupa hoy la escala que mide la cantidad de sal es mucho mayor que la que mide la cantidad de carbohidratos. La primera va de 900 a 2000, mientras que la segunda se mueve entre 16 y 35. Si queremos que ambos factores tengan idéntica importancia es necesario, como vimos en su día, normalizar los valores.

En aquella ocasión estudiamos en su momento diferentes maneras de normalizar un conjunto de datos. TOPSIS utiliza la normalización vectorial. Sin entrar en detalles, lo que se logra con este tipo de normalización es que las hipotenusas tengan una distancia comprendida entre 0 y 1.

	Carbohidratos	Sal	Carbohidratos (normalizado)	Sal (normalizado)
Ketchup	33,3	907	0,72	0,3
Ketchup sin azúcar	3,4	2000	0,74	0,66
Catsup	27	1067	0,59	0,35
Catsup Light	16,6	1800	0,36	0,59

Una vez hecha la normalización el siguiente paso es añadir pesos. Cada característica puede tener un peso distinto con la condición de que la suma de todos los factores sea uno. Así, si nos importan lo mismo el contenido de sal y el de carbohidratos, los pesos serán 0,5 y 0,5. Si, por ejemplo, la cantidad de sal nos importara cuatro veces más que la de carbohidratos los pesos serían 0,8 y 0,2.

					Carbohidratos (normalizado, con peso 0,5)	Sal (normalizado, con peso 0,5)
Ketchup					0,36	0,15
Ketchup sin azúcar					0,37	0,33
Catsup					0,3	0,18
Catsup Light					0,18	0,3

Después de aplicar los pesos a los valores normalizados se determinan las soluciones ideal y pésima. La solución ideal es aquella que, si existiera, tendría los mejores valores posibles. Recordemos que, en nuestro caso, esto corresponde a la menor cantidad de sal y de carbohidratos. La solución pésima es aquella que tiene los peores valores posibles.

					Carbohidratos	Sal
Opción ideal					0,18	0,15
Opción pésima					0,37	0,33

Finalmente, se calculan las distancias para cada alternativa hacia la solución ideal y la opción pésima y se aplica una fórmula para calcular la cercanía relativa.

Imagen de Wikimedia Commons

El resultado será un valor entre 0 y 1. Cuanto mayor es este valor, mayor es la prioridad (mejor opción es).

							Distancia hasta la mejor opción	Distancia hasta la peor opción	Puntuación	Clasificación
Ketchup							0,18	0,18	0,36	4
Ketchup sin azúcar							0,24	0	0,64	1
Catsup							0,12	0,17	0,4	3
Catsup Light							0,12	0,19	0,47	2

En nuestro caso, concluimos que la mejor elección es el ketchup sin azúcar.

TOPSIS no es método perfecto. Su premisa es fácil de entender (¿qué opción se acerca más a la ideal?) pero laboriosa de calcular a mano, razón por la cual hemos omitido algunas ecuaciones. Afortunadamente, existen aplicaciones y herramientas web para ello.

Por otro lado, en TOPSIS se asume que cada criterio tienen una utilidad que crece o decrece de forma monótona, lo que traducido a lenguaje llano quiere decir que tiene la misma importancia un gramo de carbohidratos independientemente de si es el único presente o el centésimo primero. Por tanto, no presenta el efecto de saturación que sí mostraba nuestro método multiplicativo con lo que no refleja fielmente cómo los humanos satisfacemos nuestros apetitos.

Otro inconveniente de TOPSIS es que solo es válido con escalas ordinales (aquellas que tienen un cero natural), por lo que no sirve para lidiar con atributos subjetivos como el sabor o el aspecto. Finalmente, como trabaja con datos normalizados el orden de la clasificación puede cambiar y dar lugar a incongruencias cuando se añaden o se eliminan opciones.

Continuará.

En busca del coche perfecto (y VII)

La satisfacción de nuestros deseos y necesidades no es una función lineal. Por ejemplo, el primer bocado de un postre es casi siempre el mejor. El segundo, algo menos delicioso. El tercero, un poco menos que el segundo. Y así sucesivamente, hasta que nos cansamos de lo que estamos comiendo. De igual manera, no sentimos el mismo dolor al gastar mil euros adicionales en una factura de treinta y mil euros que en una de tan solo cien.

Por otro lado, tendemos a preferir las soluciones equilibradas. Son pocas las ocasiones en las que estamos dispuestos a renunciar totalmente a algo para obtener más de otra cosa. En el caso que nos ha tenido ocupados, el de los coches, la mayoría de nosotros tenemos un límite a partir del cual nos negamos a sacrificar más equipamiento, más potencia o más eficiencia para obtener mejor precio, más fiabilidad o un diseño más bonito. Autores más elocuentes que yo lo han expresado de esta manera:

Simple additive weighting implies that there is a fixed trade-off rate between each pair of criteria. Moreover this trade-off, or “exchange rate,” is assumed to remain the same irrespective of the level of the attributes. For example, if you are willing to work for an employer for $50 per hour, then you would be willing to do this whether you worked eight hours per day or 20 hours per day. Of course this is not realistic; the employee would expect a greater hourly return for working 20 hours per day. This illustrates that human preference (score) functions cannot be assumed to be linear. Another clear example is to consider the marginal utility of repeatedly giving someone $100 bills. The first such bill will be considered more personally valuable than the thousandth one. This is an instance of the diminishing value of marginal returns—something that simple additive weighting does not take into account. (An informal illustration of this was given by the actor and Governor of California, Arnold Schwarzenegger: “I have 50 million dollars, but I was just as happy when I had 48 million.” At the other end of the scale, when a king has zero horses and needs one to escape he may be heard to exclaim “A horse! A horse! My kingdom for a horse.”)

Visualmente, la agregación de preferencias mediante la suma tiene este aspecto:

Tofallis, C. (2014)

Mientras que la agregación obtenida mediante la multiplicación tiene este otro:

Tofallis, C. (2014)

Como vemos, en el caso del producto se genera una frontera curva. Esa curva representa nuestra saturación.

Preguntémonos para terminar: ¿es perfecto el método que hemos usado? En absoluto. Una limitación es el tipo de datos al que se puede aplicar. En estadística descriptiva hay cuatro tipo de medidas: nominal, ordinal, intervalar y racional. Una variable nominal puede ser, por ejemplo, el nombre de la marca. Una variable ordinal sería el puesto en el que quedó un coche en la votación para elegir el mejor coche del año. Una variable intervalar sería la puntuación obtenida por el vehículo en la prueba realizada por la prensa del motor. Finalmente, una variable racional podría ser la potencia del motor medida en kilovatios.

La agregación mediante producto solo debería aplicarse cuando se trabaja con variables racionales, esto es, atributos que tienen un cero natural (no arbitrario) que significa ausencia de la característica. Esto significa que no podemos considerar aspectos subjetivos como el diseño o la calidad de los materiales puesto que no hay una escala de razón para medirlos. Para mí no es un problema porque me es indiferente la belleza del coche (de hecho, mi primer coche nuevo lo compré a pesar de su diseño) pero para otras personas este factor es de los más importantes.

Otra precaución a tener en cuenta con nuestro método es que los atributos deben ser independientes entre sí, es decir, que el valor de uno no dependa del valor de otro. Para ilustrar esta necesidad, consideremos la siguientes tablas:

	Número de cilindros	Cilindrada	Potencia	Equipamiento	Puntuación
Coche 1	4	1.999	182	2	288
Coche 2	3	999	120	7	252
Coche 3	3	1.500	140	4	252

	Potencia	Equipamiento	Puntuación
Coche 1	182	2	364
Coche 2	120	7	840
Coche 3	140	4	560

Si ordenamos los coches según su puntuación en cada tabla veremos que el orden no coincide. La razón es fácil de ver. En la primera tabla la mayoría de factores están relacionados entre sí: la cilindrada depende del número de cilindros, así como la potencia depende de la cilindrada. Por tanto, estamos contando tres características del motor que van de la mano y solo una independiente (equipamiento). Si hacemos eso los motores más potentes dominarán sobre el resto de coches aun cuando anden muy, muy escasos de otras características.

La lección a extraer es que debemos ser cuidadosos y no contar el mismo atributo varias veces con nombres distintos. No siempre es fácil y, de hecho, no siempre es posible. Consideremos, verbigracia, el consumo de combustible, que tiende a ser mayor en motores más grandes. También el nivel de equipamiento puede mostrar cierta correlación con la potencia del motor, pues los acabados más lujosos suelen ir asociados a motores con más caballos. En estos casos lo único que podemos es hacer es centrarnos en los atributos que más nos importan en la práctica, así como seleccionar aquellos que tengan una correlación más próxima a cero.

El Programa de las Naciones Unidas para el Desarollo publica anualmente una tabla de países ordenada según su índice de desarrollo humano (Human Development Index, HDI). Este indicador es un índice compuesto por tres medidas: esperanza de vida al nacer, años de escolarización e ingreso nacional bruto per cápita. Fue creado por el economista paquistaní Mahbub ul Haq en 1990 para intentar representar las posibilidades de desarrollarse que tienen los habitantes de un país de una forma que fuera más allá de los indicadores de corte económico.

Hasta el año 2010 el HDI era la media aritmética de los índices que lo componen, es decir, que la agregación de los mismos era lineal (se sumaban). Esto significaba que una deficiencia podía compensarse totalmente por otra característica. Por ejemplo, un país con una esperanza de vida de veinte años podía obtener la misma calificación que otro donde la gente vivía y estudiaba más años pero ganaba menos dinero. Así, los criterios eran perfectamente sustituibles y las compensaciones entre ellos, constantes.

Desde 2010 el índice de desarrollo humano se calcula obteniendo la media geométrica de los indicadores agregados, esto es, se multiplican entre sí (y luego se obtiene la raíz cuadrada). Este sistema, además de reflejar la utilidad marginal decreciente de los indicadores subyacentes, no genera unos resultados u otros dependiendo del método de normalización elegido, o la escala de los valores.

Con esto concluye, por el momento, nuestra breve iniciación al análisis de datos y la toma de decisiones con criterios múltiples. Para poder continuar necesitamos conocer antes nuevos conceptos y herramientas matemáticas. Su aprendizaje debería ayudarnos a lidiar racionalmente con algunos problemas de la vida cotidiana.

En busca del coche perfecto (VI)

Hasta ahora todos nuestros intentos por elaborar una clasificación objetiva y fiable han sido infructuosos. Hemos visto que no podemos asignar y sumar puntos porque para ello es necesario normalizar los valores, lo cual introduce subjetividad (el método de normalización elegido) y elimina la transitividad (la clasificación depende de los competidores considerados y puede cambiar si se agregan o quitan algunos de ellos). También hemos concluido que no podemos sumar los datos sin normalizar porque el rango de valores en el que se mueve cada característica (precio, potencia, etcétera) pertenecen a escalas diferentes que no están equilibradas, por lo que unas dominan sobre otras aunque la importancia no sea la misma.

La palabra clave en el párrafo anterior es «sumar». Recordemos que lo que pretendemos es agregar múltiples mediciones cualitativas (potencia, precio, consumo, equipamiento, etcétera) en una sola cifra. El hecho es que la suma no es la única forma de agregar datos; también podemos multiplicar. Exploremos esta vía.

Si repasamos algunas de las ecuaciones más conocidas de la física veremos que todas ellas utilizan el producto en lugar de la suma. Verbigracia:

Ecuación equivalencia masa-energía de Einstein

Segunda ley de Newton

Ley de gravitación universal

Como dice Chris Tofallis:

The key thing to notice regarding equations in physics is that the physical laws are generally in the form of a product of variables (i.e. multiplication), and not a sum. This immediately overcomes the issue of incommensurability —adding together quantities measured in different units —the 'adding apples with oranges' problem. It also allows for ‘more is worse’ variables to be included —one simply divides by them so that increased values lead to a reduction in the impact. This is illustrated by the universal law of gravitation [...]. The greater the distance - the weaker the force. This also shows us how weights could be incorporated — one simply raises a variable to a power.

Las ventajas de calcular la puntuación final multiplicando en lugar de sumando son varias. En primer lugar, podemos cambiar la escala de un atributo sin afectar al resultado final. Por ejemplo, en nuestro caso podemos pasar de medir la potencia de caballos de vapor a kilowatios sin que la clasificación cambie. En segundo lugar, el hecho de que unos atributos sean numéricamente mucho mayores que otros ya no importa porque, como acabamos de decir, la escala no tiene importancia. Esto hace innecesario normalizar los datos, lo cual incrementa la objetividad y hará que los resultados sean iguales independientemente de los coches considerados.

Otra ventaja es que con la multiplicación los pesos son fáciles de interpretar: un peso X significa que un aumento del 1% del atributo al que se asigna el peso aumentará la puntuación final en un X%. Por ejemplo, si asignamos a la potencia del motor un peso de valor 3 significa que, si aumentamos la potencia del motor un 1%, entonces la puntuación de ese coche sube un 3%. Cuando todos los pesos son iguales, un cambio de un 1% en cualquier atributo cambiará la puntuación final en un 1%.

Veamos cómo quedaría nuestra clasificación aplicando este método. Vamos a usar esta fórmula:

$$ puntos = {CV \cdot Equipamiento \cdot Equipamiento Seguridad \over Precio \cdot Consumo Combinado} $$

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	150	5.1	35	9	28950	0.3200
Fiat Tipo Easy	120	6	12	4	18777	0.0511
Ford Focus Trend	100	4.9	20	12	19575	0.2502
Honda Civic Prestige	182	5.8	45	15	28850	0.7341
Hyundai i30 Go	120	5.5	33	15	23025	0.469
Kia Ceed Drive 100	100	6.2	18	13	20350	0.1854
Mazda3 Evolution	120	5.1	31	10	21915	0.3328
Opel Astra GSiLine 200	200	6.2	37	15	28418.24	0.6299
Peugeot 308 GTLine	130	4.4	30	8	22050	0.3215
Renault Megane GTLine 160	160	5.5	23	8	26889.62	0.1990
Seat Leon Xcellence Edition	150	5.1	36	12	25610	0.4961
Volkswagen Golf Sport 5p 130	130	5	44	9	28945	0.3642

Con lo que el podio queda así:

1. Honda Civic Prestige
2. Opel Astra GSi Line
3. Seat Leon Xcellence Edition

Supongamos ahora que nuestro presupuesto es limitado. Para darle más importancia al precio vamos a asignarle un peso de, por ejemplo, 5 (recordemos que esto significa que un precio un 1% menor resulta en una puntuación un 5% mejor). En este caso la fórmula sería esta:

$$ puntos = {CV \cdot Equipamiento \cdot Equipamiento Seguridad \over Precio^5 \cdot Consumo Combinado} $$

Y los tres primeros clasificados serían estos:

1. Ford Focus Trend
2. Hyundai i30 Go 
3. Mazda3 Evolution

Continuará.

En busca del coche perfecto (V)

Vamos a añadir más coches a nuestra tabla de clasificación usando el método de normalización z-score del que hemos hablado. Agreguemos estos:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
Audi A3 Sportback	150	5,1	35	9	28.950
Fiat Tipo Easy	120	6,0	14	4	18.777
Hyundai i30 Go	120	5,4	33	15	23.025
Kia Ceed Drive	100	6,2	18	13	20.350
Pegueot 308 GTLine	130	4,4	27	8	20.440
Volkswagen Golf Sport 5p	130	5,0	44	9	28.945

Anexándolos a los coches que ya teníamos, normalizando los datos y haciendo la suma la clasificación quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	0.37	-0.53	0.46	-0.53	1.15	-0.32
Fiat Tipo Easy	-0.6	1.06	-1.79	-1.99	-1.44	-4
Ford Focus Trend	-1.24	-0.88	-1.01	0.34	-1.24	0.21
Honda Civic Prestige	1.41	0.71	1.43	1.21	1.121	2.22
Hyundai i30 Go	-0.6	0.18	0.26	1.21	-0.36	1.06
Kia Ceed Drive 100	-1.24	1.42	-1.20	0.63	-1.04	-2.19
Mazda3 Evolution	-0.6	-0.53	0.066	-0.24	-0.64	0.40
Opel Astra GSiLine 200	1.99	1.42	0.65	1.21	1.01	1.42
Peugeot 308 GTLine	-0.27	-1.77	-0.03	-0.83	-0.61	1.25
Renault Megane GTLine 160	0.69	0.18	-0.72	-0.83	0.62	-1.64
Seat Leon Xcellence Edition Plus	0.37	-0.53	0.55	0.34	0.3	1.5
Volkswagen Golf Sport 5p 130	-0.27	-0.71	1.33	-0.53	1.14	0.09

Ordenemos por puntuación para ver el resultado más claramente:

Coche	Puntuación final
Honda Civic Prestige	2.22
Seat Leon Xcellence Edition Plus	1.5
Opel Astra GSiLine 200	1.42
Peugeot 308 GTLine	1.25
Hyundai i30 Go	1.06
Mazda3 Evolution	0.40
Ford Focus Trend	0.21
Volkswagen Golf Sport 5p 130	0.09
Audi A3 Sportback 150	-0.32
Renault Megane GTLine 160	-1.64
Kia Ceed Drive 100	-2.19
Fiat Tipo Easy	-4

El Honda Civic recibe la mejor puntuación, seguido del Seat León y del Opel Astra. En la cola de la tabla encontramos el Renault Megane, el Kia Ceed y el Fiat Tipo.

Un momento. Aquí falla algo. ¿No habíamos quedado en que el Seat León era el mejor? Recordemos la clasificación que teníamos antes de agregar más coches:

1. Seat León Xcellence Plus
2. Honda Civic Prestige
3. Mazda 3 Evolution
4. Ford Focus Trend
5. Opel Astra GSILine
6. Renault Megane GTLine

Sin embargo, en la nueva clasificación el orden de varios vehículos ha cambiado. Antes teníamos:

Seat León Xcellence Plus > Honda Civic Prestige

Mazda3 > Opel Astra GSILine 

Ford Focus Trend > Opel Astra GSILine

Pero ahora tenemos:

Honda Civic Prestige > Seat León Xcellence Plus

Opel Astra GSILine > Mazda3 Evolution

Opel Astra GSILine > Ford Focus Trend

¿Qué ha pasado? ¿Por qué la clasificación ha cambiado al agregar más vehículos?

En resumidas cuentas, porque hemos normalizado los datos. Ya se calculen usando mínimo-máximo o z-score, los valores normalizados se computan a partir de los existentes. Por consiguiente, cuando estos datos cambian (se agregan, eliminan o modifican observaciones) también lo hacen los valores normalizados. En nuestro caso esto significa que la clasificación no es absoluta ni inmutable ya que el orden puede variar según los automóviles que incluyamos en nuestro estudio. De nuevo, no parece una solución correcta.

Si la normalización es el problema ¿por qué no prescindir de ella? Podríamos, sencillamente, sumar y restar los valores en bruto. Si hiciéramos eso obtendríamos este resultado:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento seguridad	Precio	Puntuación final
Audi A3 Sportback 150	150	5.1	35	9	28950	-2851,1
Fiat Tipo Easy	120	6	12	4	18777	-18647
Ford Focus Trend	100	4.9	20	12	19575	-19447,9
Honda Civic Prestige	182	5.8	45	15	28850	-28613,8
Hyundai i30 Go	120	5.5	33	15	23025	-22862,5
Kia Ceed Drive 100	100	6.2	18	13	20350	-20225,2
Mazda3 Evolution	120	5.1	31	10	21915	-21759,1
Opel Astra GSiLine 200	200	6.2	37	15	28418.24	-28172,44
Peugeot 308 GTLine	130	4.4	30	8	22050	-21886,4
Renault Megane GTLine 160	160	5.5	23	8	26889.62	-26704,12
Seat Leon Xcellence Edition (aka Plus)	150	5.1	36	12	25610	-25417,1
Volkswagen Golf Sport 5p 130	130	5	44	9	28945	-28767

Lo que resumido queda así:

Coche	Puntuación final
Fiat Tipo Easy	-18647
Ford Focus Trend	-19447,9
Kia Ceed Drive 100	-20225,2
Peugeot 308 GTLine	-21886,4
Mazda3 Evolution	-21759,1
Hyundai i30 Go	-22862,5
Seat Leon Xcellence Edition (aka Plus)	-25417,1
Renault Megane GTLine 160	-26704,12
Opel Astra GSiLine 200	-28172,44
Honda Civic Prestige	-28613,8
Audi A3 Sportback 150	-28761,1
Volkswagen Golf Sport 5p 130	-28767

La ventaja de hacer esto que el orden los coches no cambiará aunque se agreguen o se quiten otros modelos, es decir, el Ford Focus seguirá teniendo mejor puntuación que el Hyundai i30 aunque incluyamos modelos de Mercedes-Benz.

La desventaja de este sistema, sin embargo, es demasiado grande como para ignorarla y se ve reflejada en la puntuación final. Como vemos, todos los coches obtienen una puntuación negativa. Esto sucede porque el precio es una cantidad que se resta (cuanto más cuesta un coche, peor) y su magnitud es muy superior a la de los otros atributos. Por ejemplo, la potencia se sitúa entre cien y doscientos caballos mientras que el precio lo hace entre dieciocho mil y veinte mil euros lo cual significa que, si sumamos los datos en bruto, el coche más barato será siempre el primer clasificado. Empero, pocas personas considerarían que el Fiat Tipo en su acabado más básico es el mejor compacto del mercado o que el Volkswagen Golf en su versión más alta es el peor.

Quizá podamos arreglar el desaguisado asignando pesos a cada característica. Si, verbigracia, multiplicamos los valores de potencia por 144 los resultados oscilarían entre 14.380 y 28.761, de forma que la potencia importaría más o menos lo mismo que el precio. Esto nos permite, además, personalizar el cálculo a nuestra preferencia. Quizá seamos de esas personas que, en lo relativo a seguridad del vehículo, no miran el duro. Quizá queramos un coche potente para divertirnos. O quiźa busquemos gastar lo mínimo posible. Los pesos nos permiten adaptar el resultado a nuestras necesidades, si bien introducen un grado de subjetividad con el que hay que ser cuidadosos, so pena de ser víctimas del sesgo de confirmación, esto es, de que la clasificación refleje nuestras creencias previas.

Veamos un ejemplo utilizando pesos. Supónganse los siguientes pesos:

Puntuación = 3 * CV + 4 * Equipamiento

La ecuación anterior refleja que nos importa más el equipamiento que la potencia. La interpretación matemática sería que 4 caballos equivalen a 3 elementos de equipamiento. Así pues, siendo todo lo demás igual, si un coche tiene 104 caballos y 10 elementos de equipamiento tendrá los mismos puntos que uno con 100 caballos y 13 elementos de equipamiento.

Cuando solo tenemos dos atributos es sencillo ver qué significa cada peso. Sin embargo, cuando tenemos decenas o cientos de ellos la interpretación se torna dificíl o imposible.

Continuará.

En busca del coche perfecto (IV)

Terminado el análisis de datos exploratorio podemos empezar a calcular qué coche es el mejor. Empezaremos con soluciones intuitivas e iremos refinando nuestro sistema hasta llegar a un sistema con cierta solvencia matemática. Para nuestras explicaciones utilizaremos un puñado de coches y solo consideraremos unas pocas características, ya que eso hará más fácil seguir el razonamiento.

Recordemos nuestra pregunta original. Dado un conjunto de coches ¿cuál es el mejor? En la primera parte de esta serie de artículos dijimos que «el mejor» es aquel que satisface todas nuestras necesidades y preferencias. En este caso buscamos un coche potente con un consumo bajo, bien equipado, seguro y barato. Con esta definición en mente veamos cual sería la mejor opción entre estos vehículos:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
Ford Focus Trend	100	4,9	20	12	19.575
Mazda 3 Evolution	120	5,1	31	10	21.915
Seat León Xcellence Plus	150	5,1	36	12	25.610
Renault Megane GT Line	160	5,5	23	8	26.890
Honda Civic Prestige	182	5,8	45	15	28.850
Opel Astra GSiLine	200	6,2	37	15	28.418

El Ford Focus es el más barato pero también es el menos potente y menos equipado. El Opel Astra es el más potente pero es el segundo más caro y no es el más equipado, además de ser el que más combustible gasta. El Honda Civic es bastante potente y el que mejor equipado está pero es el más caro. El Mazda 3 y el Seat León se mueven en zonas intermedias. Vamos a tratar de elaborar un ranking para dilucidar cuál cubre mejor nuestras demandas.

La primera idea que se me ocurre para crear la tabla de clasificación es asignar puntos. Podemos empezar, por ejemplo, por asignar un punto al coche que sea mejor en potencia, otro punto al que tenga mejor equipamiento, otro al que tenga mejor consumo y otro al que tenga el mejor precio. Después los sumamos todos y el que más puntos tenga sería el mejor. En nuestro caso quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Ford Focus Trend	0	1	0	0	1	2
Mazda 3 Evolution	0	0	0	0	0	0
Seat León Xcellence Plus	0	0	0	0	0	0
Renault Megane GT Line	0	0	0	0	0	0
Honda Civic Prestige	0	0	1	1	0	2
Opel Astra GSiLine	1	0	0	1	0	2

Tenemos un triple empate, lo cual no nos ayuda demasiado. Si tuviéramos en cuenta más características quizá lograríamos deshacer el empate pero seguiríamos tendiendo un problema: este sistema favorece los extremos, ya que solo se obtiene un punto cuando se está por encima o por debajo de todos los demás. Dado que lo que buscamos es un equilibrio entre distintos factores no parece que este método sea el adecuado porque nuestra respuesta, probablemente, ande por la zona media. Supongamos, verbigracia, que tenemos estos tres coches:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Coche A	150	7,0	20	10	22.000	3
Coche B	140	6,0	19	9	21.000	0
Coche C	100	5,5	10	5	20.000	2

Según esto deberíamos descartar el coche B pero, si observamos detenidamente, veremos que el coche B parece la opción más acertada: no es el mejor en nada pero está muy cerca de los que sí lo son.

La forma en que suele resolverse el problema anterior es repartiendo puntos. Por ejemplo, en los mundiales de motociclismo y automovilismo se otorga un número de puntos al ganador de cada carrera, unos pocos menos al segundo clasificado, menos aún al tercero, etcétera. De esta forma se evita que un piloto que ha ganado cuatro carreras y no ha corrido las quince restantes se proclame campeón frente a alguien que ha quedado segundo en todas las carreras.

Probemos esta solución. Vamos a usar una escala del cero al diez para cada atributo, siendo diez el valor perteneciente al mejor dato en la escala de ese atributo y cero el valor correspondiente al peor dato en la escala. Obsérvese que el diez no siempre corresponde al valor más alto pues hay atributos (precio, consumo) que nos interesa que sean lo más pequeñas posibles. En nuestro caso tendríamos:

Puntos	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio
0	100	6,2	20	8	28.850
10	200	4,9	45	15	19.575

Por lo que nuestra clasificación quedaría así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Total
Ford Focus Trend	0	10	0	6	10	26
Mazda 3 Evolution	2	8	4	3	7	25
Seat León Xcellence Plus	5	8	6	6	3	29
Renault Megane GT Line	6	5	1	0	2	14
Honda Civic Prestige	8	3	10	10	0	31
Opel Astra GSiLine	10	0	7	10	0	27

Con este nuevo sistema el campeón es el Honda Civic Prestige, seguido del Seat León Xcellence y el Opel Astra GSiLine. El peor sería el Renault Megane GT Line.

Parece un buen sistema pero, como decía el señor Lobo en Pulp Fiction, no empecemos todavía con las felaciones mutuas. Examinemos detenidamente la columna de los caballos de potencia. ¿No ven algo raro?

Coche	CV	Puntos correspondientes
Ford Focus Trend	100	0
Mazda 3 Evolution	120	2
Seat León Xcellence Plus	150	5
Renault Megane GT Line	160	6
Honda Civic Prestige	182	8
Opel Astra GSiLine	200	10

El Opel Astra tiene el doble de puntos que el Seat León en lo que a potencia se refiere pero, en realidad, solo tiene un treinta y tres por ciento más de caballos que este último. Similarmente, el Renault Megane tiene tres veces más puntos de potencia que el Mazda 3 aun cuando el primero solo tiene un treinta y tres por ciento más de caballos que el segundo. No parece que eso sea correcto.

La aberración detectada se debe a la normalización mínimo-máximo que empleamos para escalar los valores a un valor entre cero y diez. Esta normalización tiene un problema adicional, a saber, que comprime la distancia entre los valores de manera que los valores atípicos son atenuados. En la práctica esto significa que si un coche es muchísimo más barato o muchísimo más eficiente que los demás su puntuación no reflejaría este hecho en toda su magnitud.

Vamos a intentar solventar los inconvenientes mencionados utilizando otro método de normalización, el llamado z-score. Este método transforma los datos a una distribución con media 0 y desviación estándar 1. Si un coche es mejor que la media en equipamiento tendrá un valor superior a 0. Si, por el contrario, tiene peor equipamiento que la media, su puntuación será un número negativo. La ventaja de este procedimiento es que se preservan tanto el rango como la dispersión de la serie por lo que los datos atípicos se verán reflejados de forma fiel.

Para que los datos de media y desviación estándar sean mínimamente fiables se necesitan al menos treinta observaciones por lo que si queremos usar z-score tendríamos que trabajar con, al menos, treinta vehículos. Sin embargo, vamos a simplificar y continuar con nuestros seis compactos. Recordemos, además, que para el consumo y el precio tenemos que cambiar el signo porque cuanto menores son estos valores más puntos se ganan.

Así pues, la clasificación usando z-score como método de normalización queda así:

Coche	CV	Consumo combinado	Equipamiento	Equipamiento de seguridad	Precio	Puntos
Ford Focus Trend	-1,28	-1,04	-1,16	0,02	-1,45	0,07
Mazda 3 Evolution	-0,75	-0,63	0,02	-0,15	-0,82	0,58
Seat León Xcellence Plus	0,06	-0,63	0,56	0,02	0,17	1,10
Renault Megane GT Line	0,32	0,17	-0,84	-0,32	0,52	-1,52
Honda Civic Prestige	0,91	0,78	1,52	0,28	1,04	0,89
Opel Astra GSiLine	1,39	1,58	0,66	0,28	0,93	-0,17

De acuerdo con esta clasificación el título de «mejor coche» va a parar al Seat León, seguido del Honda Civic y del Mazda 3. El peor clasificado vuelve a ser el Renault Megane.

Continuará.

En busca del coche perfecto (III)

La siguiente parada en nuestro viaje es el análisis bivariable, es decir, comparar los valores de unas características con otras. Mediante el examen simultáneo de dos atributos podremos comprobar si existe una asociación entre ellos y la fuerza de dicha asociación. También podremos comprobar qué diferencias hay entre las dos variables, así como su importancia. En este paso ya es posible empezar a poner a pruebas nuestros prejuicios y conjeturas.

Por ejemplo, ¿los coches más potentes son más caros? El saber común dicta que sí pero comprobemos si es cierto:

Vemos un correlación positiva moderada tirando a fuerte entre ambas variables, de manera que algo de verdad hay en nuestra hipótesis. Sin embargo, muchos puntos caen fuera de las bandas de confianza (de color gris) lo que significa que hay más factores que influyen en el precio.

Parece de suyo evidente que uno de tales factores sea el equipamiento. ¿Hasta qué punto es así?

Encontramos otra vez una correlación positiva moderada lo que significa, de nuevo, que nuestra hipótesis es verdadera en cierto grado. Sin embargo, la correlación entre equipamiento y precio es menor que la que hemos visto antes entre precio y potencia de lo que se deduce que, en lo que a coste se refiere, importa más la potencia del motor que el equipamiento.

En los gráficos anteriores se puede observar que para la misma potencia o cantidad de equipamiento hay precios diferentes. ¿A qué puede deberse esto? La primera respuesta que nos viene a la mente seguramente sea la marca ya que hay fabricantes cuyos automóviles, a igualdad en el resto de atributos, son más caros que el resto. ¿Cuáles son las marcas más caras y las más baratas? (clic para ampliar)

Skoda es, con diferencia, la marca más asequible mientras que Mercedes es la maś costosa, seguida de cerca por Infiniti. Cuando modelemos el precio utilizando regresión lineal veremos cuántos euros extra hay que abonar por cada una de estas marcas de lujo.

Más sabiduría convencional que podemos poner a prueba. ¿Los coches más potentes consumen más gasolina?

La respuesta es sí pero la correlación es débil. ¿Será que en el gasto de combustible influye más el peso que la potencia del motor?

Efectivamente, en lo que a consumo se refiere, el peso del vehículo importa más que la sus caballos.

Otra pregunta. ¿Es el precio del seguro más caro cuanto más caro es el coche?

Parece que sí pero no es una correlación fuerte. En realidad, como podemos ver a continuación, en el coste del seguro influye mucho más la potencia.

De todas las correlaciones existentes entre las variables las más fuertes son la que hay entre consumo combinado y emisiones de dióxido de carbono (0,92) y la existente entre potencia y velocidad máxima (0,85). No hay relación entre equipamiento y consumo extraurbano, ni entre el peso y la anchura del vehículo. La correlación negativa más grande es entre velocidad máxima y tiempo de aceleración de cero a cien kilómetros por hora y entre velocidad máxima y potencia. Es decir que, tal como era de esperar, los motores más potentes tardan menos en alcanzar los cien kilómetros hora.

Continuará.